ألغاز رياضية مدهشة
لغز الرقم الناقص:
في إحدى الندوات جلس أحد نوابغ الرياضيات الحسابية أمام الحضور طالباً منهم أن يضربوا عددأً مثل 7938 أو 6417 أو 9072 بعدد آخر من 3 أرقام يختارونه بأنفسهم، بصورة ذهنية أو بالآلة الحاسبة، ويعطوه الأرقام التي يتألف منها ناتج الضرب من دون ترتيب وناقصة أحد هذه الأرقام ، وكان يحدد لهم الرقم الناقص خلال ثوان. فكيف كان يتمكن من ذلك؟
لعل أول سؤال يتبادر للذهن هو هل هناك خصوصية معينة في هذه الأعداد تساعد على كشف اللغز؟ والجواب هو نعم. فلو جمعنا الأرقام التي تكون لكل عدد لوجدنا أن المجموع يساوي 8+3+9+7 = 27 في العدد الأول، ويساوي 7+1+4+6 = 18 في العدد الثاني، ويساوي 2+7+0+9 = 18. والعامل المشترك في مجموع أرقام هذه الأعداد أنها من مضاعفات الرقم 9 أو أنها تقبل القسمة عليه دون وجود باقي، فالعدد 27 هو 3 أمثال العدد 9، والعدد 18 هو ضعف العدد. ولكن ما أهمية ذلك؟
إن المتعمق في الرياضيات الحسابية يعرف أن العدد الذي يكون مجموع أرقامه من مضاعفات الرقم 9 يكون مجموع أرقام أي من مضاعفاته قابل للقسمة على 9 أيضاً. ولنجرب بعض مضاعفات الأعداد السابقة:
7938×2 = 15876 6+7+8+5+1 = 27
6417×7 = 44919 9+1+9+4+4 = 27
9072×12 = 108864 4+6+8+8+0+1 = 27
لهذا فقد اعتمد النابغة الرياضي على هذه الفكرة الذكية في معرفة الرقم الناقص من ناتج الضرب الذي حسب من قبل الجمهور، فأي ناتج ضرب للعدد الذي يقبل مجموع أرقامه القسمة على 9 سيقبل مجموع أرقامه هو أيضاً القسمة على 9 أي سيكون من مضاعفات الرقم 9، وعندما يعطي الحضور الأرقام الموجودة في ناتج الضرب ناقصة أحد الأرقام حتى لو كانت بغير ترتيب فإنه سيكتفي بجمع الأرقام المعطاة له أثناء قراءتها، وما ينقص هذا المجموع عن المضاعف التالي للرقم 9 هو الرقم الناقص. لنفرض كتوضيح لذلك أنه لو أعطى الحضور الأرقام التالية الموجودة في ناتج الضرب الذي حسبوه: 5 و 8 و 3 و 9 و 1 و 7 فإن مجموع هذه الأرقام 5+8+3+9+1+7 = 33 وهي تنقص 3 عن مضاعف الرقم 9 التالي 36، وبالتالي فالرقم الناقص هو 3.
جرب أن تدهش من تعرفه بقدرتك الحسابية بأن تعطيه عدداً مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9 وتطلب منه استخدام الآلة الحاسبة لضرب هذا العدد بعدد يختاره ثنائي أو ثلاثي الأرقام وإعطاءك أرقام ناتج الضرب بدون ترتيب باستثناء أحدها. وأثناء قراءته لهذه الأرقام اجمعها واطرح المجموع من أول مضاعف للرقم 9 يلي المجموع لتحصل على الرقم الناقص.
كيف تتأكد من صحة عملية ضرب باستخدام الرقم 9؟
لنفرض أنك تريد ضرب رقمين مثل 853 بـ 476 وأنك بعد تنفيذ عملية الضرب وجدت أن الناتج يساوي 406028 :
853 × 476 = 406028
للتأكد من صحة هذه العملية نكتب:
مجموع أرقام العدد الأول: 3+5+8 = 16 = 9 + 7 (يوجد 7 متبقي من طرح 9 أو مضاعفاتها من المجموع)
مجموع أرقام العدد الثاني: 6+7+4 = 17 = 9 + 8 (يوجد 8 متبقي من طرح 9 أو مضاعفاتها من المجموع)
ناتج ضرب المتبقيين: 7×8 = 56 = 54 + 2 (يوجد 2 متبقي من طرح 54 أكبر مضاعفات 9 في المجموع منه)
مجموع أرقام ناتج الضرب: 8+2+0+6+0+4 = 20 = 18 + 2 (يوجد 2 متبقي من طرح 18 أكبر مضاعفات 9 في المجموع منه)
يعرف أن ناتج الضرب هو صحيح (غالباً) إذا تماثل المتبقي من طرح مضاعفات الرقم 9 من مجموع أرقامه (2 هنا) مع المتبقي من طرح مضاعفات الرقم 9 من ناتج ضرب المتبقيين من مجموع أرقام العددين المضروبين.
وفي الحالة الخاصة التي يكون فيها مجموع أرقام أحد العددين المضروبين يقبل القسمة على 9 فإن مجموع أرقام ناتج ضرب العددين يجب أن يقبل أيضاً القسمة على 9 إذا كانت عملية الضرب صحيحة، كما لاحظنا في الفقرة السابقة.
لغز العدد السحري 1089:
خذ أي عدد من ثلاثة أرقام متزايدة من اليمين إلى اليسار، واقلب ترتيب الأرقام لتحصل على عدد جديد متناقص الأرقام، واطرح العدد الثاني من العدد الأول واجمع العدد الناتج إلى العدد الناتج من قلب ترتيب أرقامه تحصل على المجموع 1089.
خذ مثلاً العدد 742. إن مقلوب الرقم هو 247 وحاصل طرح العدد الأخير من العدد الأول هو 742 – 247 = 495. إن مقلوب هذا العدد هو 594 وحاصل جمعه إلى 495 هو 594 + 495 = 1089
لعل تفسير الحصول على هذا العدد سيقودنا إلى أمر يبدو أغرب لأول وهلة. ولكن دعنا لا نستبق الأمور. إذا رمزنا لرقم المئات بالرمز أ ولرقم العشرات بالرمز ب ولرقم الآحاد بالرمز ج، حيث أ < ب < ج، كان لدينا العدد 100 أ + 10 ب + ج أما مقلوبه فهو 100 ج + 10 ب + أ وحاصل طرح الثاني من الأول هو:
100 أ + 10 ب + ج – (100 ج + 10 ب + أ) = 100 أ – 100 ج + ج – أ = 99 أ – 99 ج = 99 (أ – ج)
وبما أن أ تزيد على ج بـ 2 على الأقل (لأن أ و ب و ج أعداد صحيحة و أ < ب < ج) و 8 على الأكثر (أكبر فرق بين رقمين صحيحين يزيد أحدهما عن الآخر بـ 2 أو أكثر)، فإن استبدال الفرق أ – ج في العلاقة السابقة بـ 2 والأرقام التالية له على التوالي حتى 8 وجدنا القيم:
99×2 = 198 ، 99×3 = 297 ، 99×4 = 396 ، 99×5 = 495 ، 99×6 = 594 ، 99×7 = 693 ، 99×8 = 792
لاحظ أن الأعداد الناتجة تتألف من 9 في خانة العشرات ورقمي آحاد ومئات مجموعهما 9 وكذلك مقلوبها وهذا يجعل مجموع رقمي الآحاد في العدد ومقلوبه يساوي 9 أياً كان العدد، كذلك سيكون مجموع رقمي العشرات وهو 9 في العدد ومقلوبه يساوي 18 حيث نكتب 8 في خانة العشرات ونضيف 1 إلى مجموع رقمي المئات المساوي لمجموع رقمي الآحاد أي 9 وبهذا نكتب مجموع 1 و 9 أي 10 في خانة المئات فنحصل على الجواب 1089.
سؤال حسابي للنابغين:
نختم هذا المقال بسؤال طرحه أحد المواقع الرياضية التربوية على آخر متسابقين تبقيا بعد سلسلة من الحلقات جرى فيها تصفية بقية المتسابقين، بغرض التفريق بينهما.
يقول السؤال: ما هو العدد الذي إذا نقل آخر أرقامه إلى اليسار ليصبح أول رقم من اليمين أعطى عدداً جديداً يساوي مرة ونصف قيمة العدد الأصلي؟
لم يكن الأمر سهلاً لكن كلاً من المتسابقين أعطى بعد جهد إجابة صحيحة، ولغرابة الأمر لم تكن الإجابتان متماثلتين. واضطر الموقع لاعتبار المتسابقين فائزين كلاهما.
ما هو يا ترى هذا العدد؟ جرب أن تجد الجواب فقد تكون نابغاً في الرياضيات وأنت لا تدري؟
| التعليقات |
|
